7.1 基于距离测量的定位

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创建时间:2019-07-02 15:41

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基于距离测量是一种基本的定位方法，其原理也非常直观和符合直觉。一种最基本的基于距离测量的定位方法是三边定位。

三边定位的基本思想是：假设空间中存在三个用于定位的信标。对于待测的定位点，可以测量该定位点到三个信标的距离。从信标处考虑，所有到信标指定距离的点，组成了一个以信标为圆心、半径为制定距离的圆。那么，根据定位点到三个信标的距离，即可分别确定三个定位圆。而这三个定位圆的交点，即为对待定位点的定位结果。

图1. 三边定位示意图（理论）

如图所示，如果三个信标的坐标分别为(0, 0)、(2, 0)和(1, 1.732)。对于定位点，如果定位点到三个信标的距离均为1.155，则以三个信标为圆心分别做圆，三个圆交于一点。则该点即为对定位点的定位结果。

假设待求的定位点坐标为(x, y)，n个信标中第i个信标的坐标为(x_i,y_i)，定位点到第i个信标的距离为d_i，则根据图1，有如下方程成立：

$\begin{cases} (x-x_1)^2+(y-y_1)^2=d_1^2\\ \vdots\\ (x-x_n)^2+(y-y_n)^2=d_n^2 \end{cases}$

求解上式，即可求得定位点的坐标(x, y)。

但是通常来说，信标的定位圆并不会刚好交于一点。实际的测量结果通常如图所示。因此，在计算时，我们需要对其进行近似求解。常见方法有加权法、最小二乘法、质心法等。如果我们使用最小二乘法进行计算，需要在前面理论的基础上进一步进行计算。在式1的基础上，我们将前n-1个方程减去第n个方程，得到线性化方程：$AX=b$。其中：

$A=\left[ \begin{matrix} 2(x_1-x_n) & 2(y_1-y_n)\\ 2(x_{n-1}-x_n) & 2(y-{n-1}-y_n) \end{matrix} \right],$ $b=\left[ \begin{matrix} x_1^2-x_n^2+y_1^2-y_n^2+d_n^2-d_1^2\\ x_{n-1}^2-x_n^2+y_{n-1}^2-y_n^2+d_n^2-d_{n-1}^2 \end{matrix} \right]$

则，利用最小二乘法可以解得：

$X=(A^TA)^{-1}A^Tb$

相关代码如下（./code/trilateration.m）

nodeNumber = 3;   %定位信标的数量
nodeList = [0, 0; 2, 0; 1, 1.732];   %三个定位信标的坐标
disList = [1.155, 1.155, 1.155];    %定位目标点到三个定位信标的距离

A = [];
B = [];
xn = nodeList(nodeNumber, 1);
yn = nodeList(nodeNumber, 2);
dn = disList(nodeNumber);
for i=1:nodeNumber-1
    xi = nodeList(i, 1);
    yi = nodeList(i, 2);
    di = disList(i);
    A = [A; 2 * (xi - xn), 2 * (yi - yn)];
    B = [B; xi * xi + yi *yi - xn * xn - yn * yn + dn * dn - di * di];
end    %#计算线性方程组的参数A和B

X = inv(A'*A)*A'*B   %#根据最小二乘法公式计算结果X

代码中，nodeList表示信标的位置坐标，nodeNumber表示信标的数量，disList表示定位点到各信标的距离。则分别求得A和B以后，根据式2即可求得定位点的坐标X。
（延伸阅读：https://github.com/megagao/IndoorPos）

Some三边定位方法。

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